高考数学压轴题（高考数学压轴大题编入新版教材）

做一道2017年高考理科数学（全国Ⅰ卷）导数大题，学霸较量的最后一题，此题已经编入新版高中数学教材。

这题经受几百万考生的考验，又那么贴合教材要求，足见当时出卷老师的成功。

题：

已知函数

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围。

高考数学导数大题

解：

(Ⅰ)，函数f(x)的定义域为(﹣∞，﹢∞)，

求导，

（导数大题一般少不了分类讨论）

①当a=0时，

f(x)在(﹣∞，﹢∞)上单调递减。

②a﹤0时，

f(x)在(﹣∞，﹢∞)上单调递减。

导数大题01

③当a﹥0时，

令f´(x)=0，得x=﹣㏑a，

在R上单调递增，

当x∈(﹣∞，﹣㏑a)时，f´(x)﹤0，

当x∈(﹣㏑a，﹢∞)时，f´(x)﹥0，

所以f(x)，

在(﹣∞，﹣㏑a)上单调递减，

在(﹣㏑a，﹢∞)上单调递增。

导数大题02

(Ⅱ)，

①由(Ⅰ)知，若a≦0时，f(x)在R上单调递减，

f(x)至多有一个零点。

②若a﹥0，

f(x)在(﹣∞，﹣㏑a)上单调递减，在(﹣㏑a，﹢∞)上单调递增，

当x=﹣㏑a，f(x)取得最小值，

f(x)的最小值为

若f(x)有两个零点，必有f(x)的最小值小于0.

导数大题03

当a=1时，f(﹣㏑a)=0，故f(x)只有一个零点。

当a∈(1，﹢∞)时，

即f(﹣㏑a)﹥0，

故f(x)没有零点。

当a∈(0，1)时，

即f(﹣㏑a)﹤0，

导数大题04

又

故f(x)在(﹣∞，﹣㏑a)上有一个零点。

在R上单调递增，

当

x∈(﹣∞，0)时，g´(x)﹤0，

x∈(0，﹢∞)时，g´(x)﹥0，

g(x)有最小值g(0)=1，

所以在R上，

故时，

因此f(x)在有一个零点。

导数大题05

或，

x→﹣∞时，

即f(x)→﹢∞，

故f(x)在(﹣∞，﹣㏑a)上有一个零点。

x→﹢∞时，

并且的增长远大于y=x的增长，当x足够大时，必有

因此f(x)在(﹣㏑a，﹢∞)有一个零点。

综上，若f(x)有两个零点，a的取值范围为(0，1)。

导数大题06

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