合集补集交集的符号(交集并集的知识点)

第2课时　补集

学 习 目 标

核 心 素 养

1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)

2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)

3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)

1.通过补集的运算培养数学运算素养．

2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.

1．全集

(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：全集通常记作U.

思考：全集一定是实数集

R

吗？

提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集

R

，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集

Z

.

2．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA

符号语言

?UA＝{x|x∈U，且x?A}

图形语言

1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A＝(　　)

A．{0}　　 B．{1}

C．? D．{0,1}

D

　

2．设全集为U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，则U等于(　　)

A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}

C．{6} D．?

A

　

3．若集合A＝{x|x>1}，则?

R

A＝________.

{x|x≤1}　

,

补集的运算

【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；

(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.

(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　

求集合的补集的方法

(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.

(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.

(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.

1．(1)设集合A＝{x∈

N

*|x≤6}，B＝{2,4}，则?AB等于(　　)

A．{2,4}　　　　 B．{0,1,3,5}

C．{1,3,5,6} D．{x∈

N

*|x≤6}

(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则?UA＝______.

(

1

)

C

　(2){x|0<x<2，或x≥6}　

,

集合交、并、补集的综合运算

【例2】　设全集为

R

，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求?

R

B，?

R

(A∪B)及(?

R

A)∩B.

　把集合A，B在数轴上表示如下：

由图知?

R

B＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以?

R

(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．

因为?

R

A＝{x|x<3，或x≥7}，

所以(?

R

A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

2．全集U＝{x|x<10，x∈

N

*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.

　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．

由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．

法二(定义法)：(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，∴?UB＝{1,4,6,7,9}．

又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴B＝{2,3,5,8}．

∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，

∴A＝{1,3,9}．

,

与补集有关的参数值的求解

1．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∩B＝?，则集合A，B存在怎样的关系？

提示：B?A.

2．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？

提示：A?B.

【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝

R

，且(?UA)∩B＝?，求实数m的取值范围．

　法一：结合数轴?UA∩B＝?

法二：

　法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}．

因为B＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是{m|m≥2}．

法二(集合间的关系)：由(?UA)∩B＝?可知B?A，

又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，

结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

1．(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.

2．(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UB)∪A＝

R

”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

　由已知A＝{x|x≥－m}，

?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(?UB)∪A＝

R

，

所以－m≤－2，解得m≥2.

由集合的补集求解参数的方法

(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.

(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.

1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．

2．补集作为一种思想方法，为我+们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.

1．思考辨析

(1)全集一定含有任何元素．(　　)

(2)集合?

R

A＝?

Q

A.(　　)

(3)一个集合的补集一定含有元素．(　　)

　(1)×　(2)×　(3)×

2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为(　　)

A．{1,2,4}　　 B．{2,3,4}

C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}

D

　

3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?

R

S)∪T等于(　　)

A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}

C

　

4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，求实数a的值．

　由已知，得－1∈U，且－1?P，

因此

解得a＝2.

当a＝2时，U＝{2,0，－1}，

P＝{2,0}，?UP＝{－1}，满足题意．

因此实数a的值为2.

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